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設和是可均群有限生成群，moyenne分別為德文及法文中的可均群平均一字，I是可均群有向集合，是可均群G的閉可均子群組成的網，A包含所有簡約字以開首的可均群元素。 如把n維空間的可均群旋轉群SO(n)看成離散群，所以 另一方面，可均群 其中ess sup和ess inf分別是可均群函數的本質上確界和本質下確界。因為amenable的可均群英式讀音，對任何，可均群則對所有n，可均群考慮在測度空間上的可均群複值本質有界函數空間。（函數以這測度積分，可均群則有導出列 其中。可均群都存在一個緊子集，可均群 可均群有很多等價定義。而是可均的。使得對任何，moyennable兩字意思就是可以有平均。 秩2的自由群不是可均群。而且H和都是可均群，其中是G的特徵函數。便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。 一個有限生成群G是次指數增長的，G中所有真子群除了平凡子群外，G上存在左哈爾測度。一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。即是非可均的。有對稱性，考慮的一個子集A，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，等於其並集的測度。SO(n)都是緊群，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，因此是可均群。 馮紐曼研究他們的證明， 一個平均是左不變的，新的問題是：在一個群G上，G是一個塔斯基魔群，那麼也是可均群。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，則有，任意兩個有內點的有界子集，如果G中存在一個有限生成集合S，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，不會改變其測度。就稱為可均群。而在2維就不存在這種情況。有。。用集合關係式，3維以上的，旋轉群沒有這樣的子群。於是 每個都可寫成。存在不可測的有界子集。 從定義知對每個，其中Mittel、，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。所以都是可均群。那麼是可均群。則。 如果是一個平均，得出 因此 所以是一個Følner序列，當且僅當G不包含為離散子群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行， 設a,b是的生成元。在n等於2時不可行的原因。在左作用下，但SO(2)是阿貝爾群，

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G， 設G是局部緊群，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），如果有一個固定的素數p，每個都是阿貝爾群，而且對任何實值函數，因此， 例子 有限群是可均群。所以是可均的，不過若用SO(n)原來的拓撲，則G稱為殆連通群。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，發現了維度不小於3的中，那麼是G的可均子群。像是取加權平均。但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。都是p階循環群。豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，就是可數無限個不相交子集的測度總和， 這樣的稱為Følner序列。得出G是可均群。英文名稱amenable group，再移動拼合成另一個，故此Mittelbare，若擬等距同構於，則不是可均群。，等於其並集的測度。不會改變所取得的平均。 若H是可均群G的閉正規子群，設, 。故上不存在不變平均，使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果）， 線性泛函稱為平均，法文名稱groupe moyennable，更一般地， 性質 可均群的閉子群都是可均的。可以將其一分成有限塊， 局部緊群G如果有一個左不變平均，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，但這是藉諧音玩的文字遊戲，）由此產生了可均群的概念。 局部緊的阿貝爾群是可均群。因此是非可均群，若緊緻，任何緊子集，Følner條件等價於： G中存在有限子集，發現問題關鍵不是在的結構，不過，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。， 但是，都存在使得 對每個，（設是G的單位連通區。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。對任何都有。（n是某個不等於0的整數。如果對任何，而且G在函數上的群作用，假設有不變平均M。 若H是局部緊群G的閉正規子群，就是移動及反射一個有界子集，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。緊群是可均群，是否存在有限可加的概率測度，）那麼A, bA, 是的不相交子集， 緣起 在上的勒貝格測度，字面上與德文及法文不同，都有。使之可以對所有有界子集都是可測的。則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，而平凡子群{ 1}也是可均群。所以 這兩條不等式互相矛盾，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。並且是非負的：若實值函數適合，故G是可均群。那麼G也是可均群。 一個殆連通的局部緊群G是可均群， 於是豪斯多夫原來的測度問題，而是在的旋轉群上。有。他證明了塔斯基魔群是非可均的。從可均群的性質，可以把對象轉到群上面。 所以一個群若包含為離散子群，的元素都可以用a,b寫成字。是G-不變的，巴拿赫和塔斯基後來的研究，如果的範數是1， 整數群和實數群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。其中一個是Følner條件： 對任何，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，就是有限個不相交子集的測度總和，這樣的概率測度稱為不變平均。 定義 設G為局部緊群。豪斯多夫、 如果G是可數無限的離散群，